Mechanik

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Die Mechanik ist ein Teilgebiet der Physik und damit wiederum ein Teilgebiet der Naturwissenschaften. Die Naturwissenschaften versuchen, Vorgänge in der Natur zu erkennen und zu beschreiben. Ziel ist es, eine möglichst abgeschlossene Klasse von Erscheinungen durch Axiome, Gesetze, Prinzipien, Definitionen und Hypothesen zu beschreiben. Dabei sind alle Aussagen der Naturbeschreibung mathematisch und die für die Naturbeschreibung verwendeten Begriffe müssen direkt oder indirekt messbar sein. Die klassische Physik lässt sich in folgende fünf Teilgebiete einteilen:

  • Klassische Mechanik
  • Akustik
  • Thermodynamik
  • Elektrodynamik
  • Optik

Nach Kirchhoff gilt folgende Definition:

Die Mechanik ist die Lehre von den Bewegungen der Körper und den sie bewirkenden Kräften.

Im Bereich der Mechanik wird unterschieden zwischen:

a) Klassischer Mechanik:

Raum und Zeit sind absolute Größen. Die Masse eines Körpers ist unabhängig von der Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeiten sind klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit.

b) Relativistischer Mechanik (Relativitätstheorie)

Raum und Zeit hängen vom verwendeten Bezugssystem ab. Die Masse eines Körpers hängt vom Bewegungszustand ab. Energie und Masse sind äquivalent und ineinander überführbar.

Wenn wir im Folgenden von Mechanik sprechen, dann beziehen wir uns immer auf die klassische oder auch Newtonsche Mechanik. Die Erweiterung der klassischen Mechanik auf den Fall beliebiger physikalisch zulässiger Geschwindigkeiten erfolgt in der relativistischen Mechanik. Die Bewegung von Mikroobjekten wird in der nichtrelativistischen Quantenmechanik formuliert.

Wie bereits erwähnt, hat die Mechanik die Aufgabe, die Bewegungsvorgänge der Körper und deren Deformationen zu beschreiben, und diese dann mathematisch zu formulieren. Diese Aufgabe behandelt insbesondere auch diejenigen Fälle, bei denen sich der Körper in Ruhe befindet, d.h. die Bewegung mit der Geschwindigkeit Null. Für den Statiker ist dieser Zustand von großer Bedeutung, währenddessen z.B. die Maschinenbauingenieure an der Beschreibung der Bewegung ihrer Konstruktionen interessiert sind.

Historisch ist die Anwendung der Mechanik älter als ihre Formulierung als Wissenschaft. In der Antike wurde die Mechanik nicht als zur Naturbeschreibung geeignete Wissenschaft angesehen, sondern als eine mechanische Technik. Die heutigen Bezeichnungen Mechanik und Maschine entstammen beide den Wurzeln der griechischen Sprache. Die Methoden der Mechanik können zum Teil unmittelbar auf andere Bereiche der Physik und Technik übertragen werden. Die starke Kopplung der Mechanik mit der Technik legt es nahe, von Technischer Mechanik zu sprechen, die das Ziel hat, geeignete Verfahren zur Berechnung technischer Konstruktionen aufzuzeigen. Von allen Naturwissenschaften ist die Mechanik mit der Mathematik am engsten verknüpft, und beide Wissenschaften haben sich in ihrer Entwicklung ganz entscheidend beeinflusst. Gerade die starke Einbettung der Mechanik in die Mathematik erschwert dem Studierenden den Zugang zur Mechanik. Der Lernende muss sich sowohl in die Denkformen der Physik als auch in die der Mathematik einfühlen, wenn er mechanische Aufgaben erfolgreich lösen will.

Der Lösungsweg der meisten mechanischen Probleme gliedert sich dabei grob in die folgenden Teilschritte, wobei die sequenzielle Abarbeitung des folgenden Schemas teilweise auch parallel erfolgen muss:

  • Formulierung der Aufgabenstellung
  • Abstrahieren des Problems durch Schaffung eines mechanischen Ersatzmodells
  • Übersetzung des mechanischen Ersatzmodells in die Sprache der Mathematik durch Schaffung eines mathematischen Ersatzmodells
  • Lösen des Problems im mathematischen Umfeld
  • Rücktransformation der mathematischen Lösung in den Bereich der Mechanik
  • Diskussion und Interpretation der Ergebnisse

Ziel des letzten Punktes ist die Beantwortung der Frage, ob das erzielte Ergebnis physikalisch sinnvoll ist. Bestehen hier Zweifel, so muss die Prozedur an entsprechender Stelle, meist bei Pkt. 2, wiederholt werden. Gerade dieser Punkt macht erfahrungsgemäß den Studierenden die größten Schwierigkeiten, da die Herausarbeitung eines effektiven mechanischen Ersatzmodells in den Vorlesungen und Übungen gar nicht gelehrt wird, da zu jeder Aufgabe das Ersatzmodell gewöhnlich gleich mitgeliefert wird.

Einige historische Bemerkungen

Wenn heute den Studierenden der Ingenieurwissenschaften die Mechanik in den Vorlesungen und Übungen als festes Gebäude präsentiert wird, so sollte doch auch ein Blick zurück gestattet sein, der den Entwicklungsgang dieser Wissenschaft in groben Zügen aufzeigt.

Bereits die frühen Kulturen Mesopotamiens und Ägyptens verfügten über weitreichende Kenntnisse auf den Gebieten der Mechanik und der Astronomie. Diese Kenntnisse beschränkten sich zunächst auf die praktischen Anwendungen von technischen Hilfsmitteln, wie Seil, Rad, Rolle, Schraube, Keil usw., bei denen die Wirkungsweise bekannt war, die mathematischen Gesetzmäßigkeiten aber fehlten. Ähnliche Verhältnisse waren in der Astronomie anzutreffen. Die Zentren der Astronomie lagen in der Vorantike in Babylonien, Ägypten und China. Es gab in der Frühzeit der astronomischen Entwicklung neben den Fragen des Kalenders und der Zeitrechnung oder der Orientierung im Gelände (Seefahrer) weitere Nutzanwendungen der Himmelskunde: In der damaligen Vorstellung war die gesamte Natur belebt und von Göttern, Geistern und Dämonen erfüllt. Das galt auch für die Gestirne, ganz besonders für die Sonne, den Mond und die Planeten. Aus der Überzeugung, die Gestirnsgottheiten würden direkt in das Geschehen auf der Erde eingreifen, etwa bei Kriegen, Seuchen, Dürreperioden oder Regierungswechsel entstand der Sternglaube und die Astrologie. Auch hier kam man über mystische Spekulationen nicht hinaus.

Bei den Griechen gehörte die Mechanik zur philosophischen Naturbetrachtung. Sie waren also keine Naturwissenschaftler im strengen Sinne. Die Geringschätzung der körperlichen Arbeit (Sklavenarbeit) in der Antike bewirkte auch, dass die Bewegungstheorien Platons und Aristoteles’ nur nach oberflächlicher Nachforschung (dem Augenschein) aufgestellt und beurteilt wurden. Sie hielten es für unwürdig, deren Richtigkeit durch das Experiment zu verifizieren, denn der mit dem Experiment verbundene Eingriff in die Natur würde die Ergebnisse verfälschen. So entstanden z.B. die falsche Bewegungslehre des Aristoteles von Stagira und das geozentrische Weltsystem des Ptolemäus.

Der berühmteste Mathematiker und Mechaniker der Antike war Archimedes von Syrakus. Zu seinen herausragenden Arbeiten zählen die Ableitung des Hebelgesetzes und das Auffinden des Gesetzes über den hydrostatischen Auftrieb. Seine mathematischen Arbeiten über die Volumen- und Schwerpunktbestimmung haben im 16. und 17. Jahrhundert in Europa bedeutenden Einfluss auf die Entwicklung der Analysis genommen. Seine Arbeiten zur Statik sind verloren, lassen sich aber in großen Zügen aus den Schriften Herons von Alexandrien und Pappus’ rekonstruieren, die ausführliche Kommentare zu ihren Vorgängern beinhalten, weswegen diese Werke zu den wichtigsten Quellen der antiken Mathematikgeschichte zählen.

Nach den großen naturphilosophischen Leistungen der Antike folgte unter dem römischen Imperium nahezu ein Stillstand in der Entwicklung der Mechanik. Dieser Zustand der Stagnation dauerte bis ins 15. Jahrhundert. Im 16. Jahrhundert setzte dann eine stürmische Entwicklung auf dem Gebiete der Mechanik ein, die bis heute unvermindert anhält.

Kopernikuswar es, der aufgrund theoretischer Überlegungen die Unwahrscheinlichkeit des ptolemäischen Weltsystems erkannte und dem heliozentrischen System den Vorrang einräumte. Aber auch Kopernikus hielt noch an der antiken Vorstellung fest, nach denen sich die Planeten auf Kreisbahnen bewegen.

Mit großen Mauerquadranten beobachtete Tycho Brahe auf seinen Sternwarten in Dänemark die Marsbahnen. Diese Messungen gehören zu den genauesten Positionsbestimmungen vor Erfindung des Fernrohrs.

Gestützt auf den Messungen und Berechnungen von Kopernikus und Tycho Brahe veröffentlichte Kepler im Jahre 1609 die beiden ersten Gesetze der Planetenbewegungen (Ellipsensatz u. Flächensatz), denen 1619 das 3. Keplersche Gesetz folgte. Mit der Erkenntnis der elliptischen Form der Planetenbahnen gelangte man zu wesentlich genaueren Vorausberechnungen, gleichzeitig stieg das Vertrauen in das heliozentrische Weltbild.

Die im modernen Sinne erste große wissenschaftliche Leistung auf dem Gebiete der Mechanik vollbrachte Galilei. Im Jahre 1638 veröffentlichte er Gesetze über den freien Fall und den schiefen Wurf. Bei Galilei finden sich auch erste Andeutungen des nach ihm benannten Trägheitsgesetzes. Die ersten theoretischen Untersuchungen zur Ermittlung der Tragfähigkeit eines Kragträgers, die Ergebnisse waren allerdings falsch, gehen auch auf Galilei zurück. Hiermit war der Anstoß für die Beschäftigung mit der Festigkeitslehre gegeben.

Auf Stevin geht nicht nur die Einführung der Dezimalbrüche zurück, er beschäftigte sich auch mit statischen Problemen, wie der Zusammensetzung von Kräften, der Bestimmung des Schwerpunktes, dem Hebel und der schiefen Ebene. Stevin formulierte auch das hydrostatische Paradoxon.

Der Nachfolger Galileis als Hofmathematiker des Großherzogs von Florenz war Torricelli, der hydrodynamische Probleme löste, wie das Problem des Ausflusses einer Flüssigkeit aus einem Gefäß. Torricelli wurde am bekanntesten durch seine Erfindung des Quecksilberbarometers. Nach Torricelli ist auch das Prinzip benannt, nach dem ein System von Körpern, das unter dem Einfluss der Schwerkraft steht, sich dann im Gleichgewicht befindet, wenn sein Schwerpunkt eine Extremallage annimmt.

Der Magdeburger Bürgermeister und Ingenieur Guericke, der zu den großen deutschen Experimentalphysikern gehört, erfand um 1650 die Luftpumpe und zeigte in spektakulären Schauversuchen mit den leergepumpten Magdeburger Halbkugeln die Kraft des Luftdruckes. Mit ihm begann die Mechanik der Gase.

Aus der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts sind die Wissenschaftler Huygens und Hooke zu nennen. Huygens stellte die Stoßgesetze auf, stellte den Energiesatz für Bewegungen im Schwerefeld der Erde auf und entwickelte eine Wellentheorie des Lichts (Huygenssches Prinzip der Wellenausbreitung), die der korpuskularen Lichttheorie widersprach, jedoch später durch Fresnel bestätigt wurde. Hooke fand auf empirischem Wege das nach ihm benannte linear-elastische Materialgesetz für Festkörper.

Um durch Gespräche, gemeinsame Experimente und Veröffentlichungen das Studium der Wissenschaften voranzutreiben, wurden im 17. Jahrhundert in den wichtigsten europäischen Ländern die ersten naturwissenschaftlichen Gesellschaften und Akademien gegründet. In Schweinfurt wurde 1652 die Akademie der Naturforscher Leopoldina gegründet, seit 1879 mit Sitz in Halle/Saale. Kurfürst Friedrich III. gründete 1700 in Berlin die Preußische Akademie der Wissenschaften. In Italien entstand 1657 die Accademia del Cimento (Akademie des Versuches) und in London 1660/62 The Royal Society (Königliche Gesellschaft) sowie 1666 in Paris die Académie Royale des sciences (Königliche Akademie der Wissenschaften). Die erste Bergakademie entstand 1665 in Freiberg, Sachsen.

Die Grundlagen der klassischen Mechanik wurden in der 2. Hälfte des 17. Jahrhunderts durch Newton abgeschlossen. Newton begründete durch seine drei Axiome die klassische Mechanik der mathematischen Physik, zu der er sein Hauptwerk über die mathematischen Prinzipien der Naturphilosophie PHILOSOPIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA 1686 veröffentlichte. Er fand das allgemeine Gravitationsgesetz, das die drei Keplerschen Gesetze vereinigte und korrigierte. Newton stellte eine Korpuskulartheorie des Lichtes und die Farbenlehre auf. Er erfand das Spiegelteleskop. Newton war mehrfach in heftige Prioritätsstreitigkeiten verwickelt, u.a. mit Leibniz wegen der Erfindung der Infinitesimalrechnung (Prioritätsstreit um die Erfindung des Calculus), die Newton Fluxionsrechnung nannte. Heute steht die Unabhängigkeit der Leibnizschen Erfindung von Newton fest.

Eine schweizerische Mathematikerdynastie niederländischer Herkunft, die entscheidende Entwicklungsschritte auf dem Gebiet der Mathematik und der Mechanik leistete, war die Familie Bernoulli. Jakob Bernoulli begründete die Festigkeitslehre des Balkens (1. u. 2. Bernoullische Hypothese) und verwendete als erster den Begriff Integral, der dann von Leibniz übernommen wurde. Sein Bruder Johann Bernoulli formulierte das Prinzip der virtuellen Arbeiten und den Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft (Energiesatz der Mechanik), begründete die Variationsrechnung und veröffentlichte ein Werk über Hydrodynamik.

Daniel Bernoulli gilt mit seinem Hauptwerk Hydrodynamik oder Kommentar über Kräfte und Bewegungen der Flüssigkeiten als Mitbegründer der Hydrodynamik.

Als der wohl erfolgreichste Forscher auf den Gebieten der Mathematik und Mechanik ist Leonhard Euler, ein Schüler von Johann Bernoulli, anzusehen. Im Gegensatz zu Newton, der kein einziges Problem der Praxis wirklich löste, entwickelte Euler im Bereich der Mathematik und der Mechanik eine gigantische Schaffenskraft. Das Gesamtwerk Eulers umfasst etwa 900 Arbeiten zur Mathematik und Physik. Die systematische Zusammenstellung seiner Arbeiten wurde 1911 begonnen und dauert bis heute an. Umfassende Darstellungen zur Mechanik sind seine analytische Mechanik Mechanika, die Theorie der Planetenbewegung, die Neuen Grundsätze der Artillerie, der Theorie des Schiffbaus und die Dioptrica. Euler war einer der Begründer der Hydrodynamik und der Strömungslehre (lokale Beschreibung der Strömungsvorgänge). Er behandelte Probleme der Elastizitätstheorie des Stabes, der Knicktheorie des Stabes und der Stabschwingungen. Eine der genialen Leistungen Eulers war die Formulierung des Schnittprinzips, mit dem es erst möglich wurde, die inneren Beanspruchungen eines Körpers zu ermitteln.

Stellvertretend für die Entwicklung der Mechanik im 18. Jahrhundert seien hier Jean Le Ronde d’Alembert und Joseph Louis de Lagrange genannt. Beide traten mit wissenschaftlichen Arbeiten zur Kinetik und Systemen von starren Körpern hervor. In seinem wissenschaftlichen Hauptwerk, der Traité de dynamique (Abhandlung über Dynamik) aus dem Jahre 1743, spricht d’Alembert das nach ihm benannte Prinzip aus, das kinetische Probleme formal auf statische Gleichgewichtsprobleme zurückführt. Das bedeutendste Werk dieser Zeit, die von Lagrange unter Mithilfe von Legendre 1788 veröffentlichte Méchanique analytique, stellt eine Krönung der analytischen Mechanik dar, durch das die Mathematiker des 19. Jahrhunderts stark beeinflußt wurden.

Die ersten Arbeiten Coulombs betrafen Abhandlungen über die Baustatik und die Festigkeitslehre sowie die Reibung, wobei er zum ersten mal zwischen Gleit- u. Rollreibung unterschied und experimentell das nach ihm benannte Reibungsgesetz fand.

Louis Poinsot hat vor allem die geometrische Statik weiterentwickelt. Von ihm stammen die Einführungen der Begriffe Kräftepaar (1804), Drehmoment und Trägheitsellipsoid (1834).

Siméon Denis Poisson trug wesentlich zum Ausbau der Potentialtheorie bei und beschäftigte sich intensiv mit der Wärmeleitung.

Von Louis Navier stammen Arbeiten zur Baustatik (Lösung der allseits drehbar gelagerten Rechteckplatte, Naviersche Randbedingungen) sowie zur Hydrodynamik (Navier-Stokes-Gleichung).

In Ergänzung des Eulerschen Schnittprinzips führte Augustin Louis Cauchy 1822 die Begriffe Spannung und Deformation ein, die in Verbindung mit dem Hookeschen Gesetz die Grundlage der Elastizitätstheorie bildeten.

Im Zuge der wirtschaftlichen Ausnutzung mechanischer Konstruktionen und der Suche nach neuen Materialen, insbesondere für die Luft- und Raumfahrt, haben Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der Mechanik der deformierbaren Körper heute wieder eine wichtige Bedeutung erlangt. Dies betrifft theoretische Untersuchungen hinsichtlich der Bereitstellung neuer Stoffgesetze für Materialen wie Keramiken, Kunststoffe und Metalle sowie die mit der Theorie einhergehenden experimentellen Untersuchungen zur Verifizierung der Stoffgleichungen.

 

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